::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

　

从一元一次方程到伽罗瓦理论

作者：冯承天 著

上海：华东师范大学出版社 ISBN: 978-7-5617-9699-3/O.232 开本：700×1000 1/16 格式：azw3 10.0MB/138页 144千字 2012年8月第一版

 < BACK

e^iπ+1=0 这就是有名的欧拉魔幻等式，它把0，1，i，π，e这5个数联系了起来．数π，e除了是无理数外，还是超越数．

1832年德国数学家里什洛（F. J. Richelot，1808—1875）作出了正257边形，其后德国数学家赫尔梅斯（J. G. Hermes，1846—1912）花了十多年的时间，在1894年作出了65537边形．

正9边形不能尺规作图．这表明40°不能尺规作图，或者120°不能用尺规三等分．

（鲁菲尼—阿贝尔）四次以上的一般的多项式方程不存在求根公式．

（伽罗瓦判别定理）　设f（x）∈F[x]，则f（x）在F上根式可解的必要充分条件是f（x）在F上的伽罗瓦群是可解群．

内容简介

伽罗瓦理论是数学爱好者无法跨越的理论，“她”深刻而优美，却因为过于深奥，很难被全面地加以把握。 本书试图从“解三次和四次多项式方程的故事”、“向五次方程进军”、“一些数学基础”、“扩域理论”、“尺规作图问题”、“两类重要的群与一类重要的扩域”、“伽罗瓦理论”及“伽罗瓦理论的应用”八个方面逐步展开，尽可能用通俗易懂的方式介绍伽罗瓦理论。 本书在阐述整个伽罗瓦理论来龙去脉的基础上，试图引导读者自己去探究、解决一系列重大的古典数学难题，如“尺规作图”、“三次实系数不可约方程的‘不可简化情况’”以及“伽罗瓦的根式可解之判别定理”等。 本书适合广大数学爱好者——如数学基础较好的高中生、理工科的大学生、数学教师等阅读、参考。

——转自出版社官方网站

本 站 简 评

Brief comment

虽勉强算普及读物但实际更像教材，它实实在在地是讲解方程。从一元一次到一元四次的解开始，讨论五次以上更高次方程的根式可解问题，而且这一问题始终是全书的主线，整体结构非常清晰。

在基本方法与伽罗瓦理论之间，本书做了充分的理论准备，比如著名的高斯正17边形、前人对正n边形充要条件的研究，还有范德蒙、拉格朗日等著名数学家的理论成果等等，其间还穿插了一些叙述性文字，讲了一点数学家故事。直到后来用不小篇幅介绍群论、域论，再以此为基础详细描述伽罗瓦理论，且仍不止于此，后续以一些较简单实例，表明该理论的更多实际应用。

在前言中，作者说内容尽量浅显，要求读者只需具备复数知识即可，但实际上初高中数学其他概念也不能忘。更重要的是后续新概念非常密集，非数学领域人士就算好好学习也不见得跟得上。这本书由浅入深，渐次推进，且内容紧凑，环环相扣，不用作课本有点可惜。

作者简介

冯承天，原上海师范大学数理学院物理系教授，现旅居美国，译有《对称》、《寻觅基元：探索物质的终极结构》、《怎样解题：数学思维的新方法》、《恋爱中的爱因斯坦：科学罗曼史》等。

——转自出版社官方网站

目  录 Contents

前言

第一部 分解三次和四次多项式方程的故事

第一章 一次和二次方程的求解

1.1一次方程的求解与数集的扩张
1.2二次方程的求解与根式可解

第二章 求解三次方程的故事

2.1波洛那的费尔洛
2.2菲俄与塔尔塔里亚
2.3卡丹与费拉里

第三章 三次方程和四次方程的根式求解

3.1三次方程的根式求解
3.2赫德方法的数学背景
3.3四次方程的根式求解

第二部分 向五次方程进军

第四章 有关方程的一些理论

4.1韦达与根和系数的关系
4.2牛顿与牛顿定理
4.3欧拉与复数
4.41的根

第五章 范德蒙与他的“根的对称式表达”方法

5.1范德蒙与范德蒙方法
5.2用范德蒙方法解三次方程

第六章 拉格朗日与他的预解式方法

6.1拉格朗日与他的预解式
6.2用拉格朗日方法解三次方程
6.3用拉格朗日方法解四次方程
6.4n=5时的情况

第七章 高斯与代数基本定理

7.1高斯与代数基本定理
7.2分圆方程与它的根式求解
7.3开方运算的多值性与卡丹公式

第八章 鲁菲尼、阿贝尔与伽罗瓦

8.1被人遗忘的鲁菲尼
8.2死于贫穷的阿贝尔
8.3死于愚蠢的伽罗瓦

第三部分 一些数学基础

第九章 集合与映射

9.1集合论中的一些基本概念
9.2集合间的映射
9.3集合A中的变换
9.4关系、等价关系与分类
9.5整数集合Z与同余关系
9.6算术基本定理与欧拉函数（n）

第十章 群论基础

10.1群的定义
10.2群与对称性
10.3对称群Sn
10.4子群与陪集
10.5正规子群与商群
10.6循环群与n次本原根
10.7单群
10.8群的同态映射与同构映射

第十一章 数与代数系

11.1自然数集N作为可换半群及其可数性
11.2整数集合Z与整环
11.3域与有理数域Q
11.4实数域R的不可数性
11.5复数域C与子域

第十二章 域上的向量空间

12.1向量空间的定义
12.2向量空间的一些基础理论
12.3数域作为向量空间

第十三章 域上的多项式

13.1一些基本事项
13.2多项式的可约性与艾森斯坦定理
13.3关于三次方程根的一些定理

第四部分 扩域理论

第十四章 有限扩域

14.1扩域作为向量空间
14.2维数公式

第十五章 代数数与超越数

15.1代数元与代数数
15.2代数数集A是可数的
15.3超越数的存在
15.4代数扩域

第十六章 单代数扩域

16.1最小多项式
16.2单代数扩域
16.3单代数扩域的性质
16.4添加2个代数元的情况
16.5有限个代数元的添加与单扩域
16.6代数数集A是域
16.7m型纯扩域与根式塔

第五部分 尺规作图问题

第十七章 尺规作图概述

17.1尺规作图的出发点、操作公理与作图法则
17.2最大可作数域K
17.3Q的可作扩域

第十八章 尺规不可作问题

18.1存在不可作数
18.2立方倍积、三等分任意角与化圆为方

第十九章 正n边形的尺规作图

19.1把正n边形的可作性归结为一些简单的情况
19.2有关□边形的两个域列
19.3分圆多项式
19.4数□应满足的必要条件
19.5对具有p=2m+1形式的奇素数的讨论
19.6费马数
19.7作出正n边形的“充要条件”

第六部分 两类重要的群与一类重要的扩域

第二十章 对称群Sn

20.1循环与对换
20.2置换的奇偶性
20.3Sn中元素的对称类与其对换乘积表示
20.4交代群An的性质
20.5A5是单群
20.6可迁群

第二十一章 可解群

21.1可解群的定义
21.2可解群的性质
21.3n≥5时，Sn是不可解群

第二十二章 正规扩域

22.1多项式的基域与根域
22.2正规扩域
22.3正规扩域的性质

第七部分 伽罗瓦理论

第二十三章 从域得到群

23.1域E的自同构群
23.2E作为F扩域时的一类特殊自同构群
23.3正规扩域时的伽罗瓦群
23.4伽罗瓦群的一些重要性质
23.5域F上方程的伽罗瓦群
23.6域F上的一般的n次多项式方程

第二十四章 伽罗瓦理论的基本定理

24.1伽罗瓦对应
24.2伽罗瓦理论的基本定理

第八部分 伽罗瓦理论的应用

第二十五章 多项式方程的根式可解问题

25.1一些特殊的伽罗瓦群
25.2根式可解的数学含义
25.3根式扩域与根式可解的精确数学定义
25.4循环扩域与拉格朗日预解式
25.5多项式方程根式可解的必要条件
25.62x5—10x+5=0不可根式求解
25.7多项式方程根式可解的充分条件
25.8用伽罗瓦理论解三次方程

第二十六章 三次实系数不可约方程有3个实根时的“不可简化情况”

26.1从判别式看根的情况
26.2不可简化情况
26.3根域的表达
26.4xp—a=0，a∈R型方程
26.5实根要通过复数得到

第二十七章 正n边形尺规作图的充分条件

27.1正咒边形尺规作图必要条件的回顾与充分条件的提出
27.2p群的一个定理
27.3正n边形尺规作图的充分条件
27.4作正17边形的高斯方法
27.5从伽罗瓦理论看正17边形的尺规作图

第二十八章 对称多项式的牛顿定理

28.1一个引理
28.2牛顿定理

附录

附录1 关于两个正整数最大公因数的一个关系式
附录2 多项式方程的重根问题
附录3 计算三次方程的判别式D

参考文献

 < BACK